Question

8．曲线f（x）=x²+lnx上任意一点的切线为l₁，曲线g（x）=e^x-ax上总有一条切线l₂与l₁平行，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$
• B． $（-∞，-2\sqrt{2}）$
• C． $（-2\sqrt{2}，+∞）$
• D． $[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 分别求得f（x），g（x）的导数，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分别是曲线f（x），g（x）上的点，求得切线的斜率，由两直线平行的条件可得切线的斜率相等，运用基本不等式和指数函数的值域可得最值，进而得到a的范围．

解答 解：f（x）=x²+lnx的导数为f′（x）=2x+$\frac{1}{x}$，g（x）=e^x-ax的导数为g′（x）=e^x-a，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）分别是曲线f（x），g（x）上的点，
所以在M，N处的切线的斜率为${k_1}=2{x_1}+\frac{1}{x_1}$，${k_2}={e^{x_2}}-a$，
由已知可得k₁=k₂，即$2{x_1}+\frac{1}{x_1}={e^{x_2}}-a$对?x₁＞0有解．
而$2{x_1}+\frac{1}{x_1}≥2\sqrt{2}$，当且仅当x₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处取得等号，
所以$h（x）={e^{x_2}}-a$最小值$h{（x）_{min}}≤2\sqrt{2}$，
即$-a＜2\sqrt{2}$，
所以$a＞-2\sqrt{2}$，
故选C．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为最值间的关系求解，是中档题．