Question

14．设函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处有极小值-$\frac{22}{3}$，求a．b的值；
（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）=|f′（x）|，求证：当x∈[-1，1]时，g（x）_max＞2；
（Ⅲ）若a＞1，b＜1-2a，对于给定x₁，x₂∈（-∞，1），x₁＜x₂，α=mx₁+（1-m）x₂，β=（1-m）x₁+mx₂，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求导，根据f′（1）=-1+2a+b=0，且f（1）=-$\frac{1}{3}$+a+b+ab=-$\frac{22}{3}$，解得，并验证即可求出a，b的值，
（Ⅱ）g（x）=|f′（x）|=|-x²+2ax+b|=|-（x-a）²+b+a²|，根据函数f′（x）的对称轴为x=a位于区间[-1，1]之外，得到g（x）_max=max{g（-1），g（1）}，继而求证，
（Ⅲ）由题设知，f（x）在（-∞，1）上单调递减，分①m∈（0，1）②m≤0③m≥1三种情况讨论求解m得范围即可

解答 解：（Ⅰ）∵＜f′（x）=-x²+2ax+b，
由已知可得f′（1）=-1+2a+b=0，且f（1）=-$\frac{1}{3}$+a+b+ab=-$\frac{22}{3}$，
解得a=2，b=-3或a=-2，b=5，
当a=2，b=-3时，f′（x）=-x²+4x-3，x=1是f（x）的极小值点，
当a=-2，b=5时，f′（x）=-x²-4x+5，x=1是f（x）的极大值点，故舍去，
∴a=2，b=-3；
（Ⅱ）g（x）=|f′（x）|=|-x²+2ax+b|=|-（x-a）²+b+a²|，
∵|a|＞1，
∴函数f′（x）的对称轴为x=a位于区间[-1，1]之外，
于是g（x）在[-1，1]上的最大值在两端点处取得，
即g（x）_max=max{g（-1），g（1）}，
于是2g（x）_max≥g（1）+g（-1）=|b-1+2a|+|b-1-2a|≥4|a|＞4，
故g（x）_max＞2；
（Ⅲ）由题设知，f′（x）=-x²+2ax+b＜-x²+2ax+2a-1=（x+1-2a）（-x+1），
∴当x∈（-∞，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，1）上单调递减，
①m∈（0，1），α=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁
α=mx₁+（1-m）x₂=x₂-m（x₂-x₁）x₂＜x₂，
∴α∈（x₁，x₂），
同理可得β∈（x₁，x₂），
∵f（x）在（-∞，1）上单调递减，
∴f（x₁）＞f（α）＞f（x₂）且f（x₁）＞f（β）＞f（x₂），
从而有|f（α）-f（β）|＜|f（x₁）-f（x₂）|符合题意，
即m∈（0，1）符合题意，
②m≤0时，α=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂
β=（1-m）x₁+mx₂≤（1-m）x₁+mx₁=x₁
于是可知f（β）≥f（x₁）≤f（x₂）≤f（α），
∴进而可得|f（α）-f（β）|≥|f（x₁）-f（x₂）|与题设不符
③m≥1时，同理可得α=mx₁+（1-m）x₂≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
β=（1-m）x₁+mx₂≥（1-m）x₂+mx₂=x₂，
进而可得|f（α）-f（β）|≥|f（x₁）-f（x₂）|与题设不符
综合①②③可得m∈（0，1）

点评 本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于难题