Question

9．小明参与某商场家电会场举行的一次智力问答，其中问题随机抽取，若小明回答问题正碘的概率为$\frac{3}{4}$，且正确加10分；回答问题错误的概率为$\frac{1}{4}$，且错误扣10分；记小明回答完第n个问题的总得分为S_n．
（1）求S₃=10的概率；
（2）记ξ=|S₄|，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）当S₃=10时，即回答3个问题后，正确2个，错误1个；利用n次独立重复实验的概率计算即可；
（2）由ξ=|S₄|可知ξ的取值为0，20，40；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望．

解答 解：（1）当S₃=10时，即回答3个问题后，正确2个，错误1个；
若回答正确第1个问题，则其余2个问题可任意回答正确1个问题；
若第1个问题回答错误，则其余2个问题回答正确；
记回答每个问题正确的概率为p，则p=$\frac{3}{4}$，回答每个问题错误的概率为$\frac{1}{4}$；
故所求的概率为：P=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{64}$；
（2）由ξ=|S₄|可知ξ的取值为0，20，40；
可有P（ξ=0）=${C}_{4}^{2}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$=$\frac{54}{256}$，
P（ξ=20）=${C}_{4}^{1}$•$\frac{3}{4}$•${（\frac{1}{4}）}^{3}$+${C}_{4}^{3}$•${（\frac{3}{4}）}^{3}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{120}{256}$，
P（ξ=40）=${C}_{4}^{0}$•${（\frac{1}{4}）}^{4}$+${C}_{4}^{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{4}$=$\frac{82}{256}$；
故ξ的分布列为：

ξ	0	20	40
P	$\frac{54}{256}$	$\frac{120}{256}$	$\frac{82}{256}$

数学期望为E（ξ）=0×$\frac{54}{256}$+20×$\frac{120}{256}$+40×$\frac{82}{256}$=$\frac{5680}{256}$=$\frac{355}{16}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求法问题，解题时应注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算问题，是综合题．