Question

1．对任意的x＞0，总有f（x）=a-x-|lgx|≤0，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，lge-lg（lge）]
• B． （-∞，1]
• C． [1，lge-lg（lge）]
• D． [lge-lg（lge），+∞）

Answer 1

分析 将所求变形为a-x≤|lgx|恒成立，结合图象得到满足条件的a．

解答 解：对任意的x＞0，总有f（x）=a-x-|lgx|≤0，即a-x≤|lgx|恒成立，设y=-x+a，g（x）=|lgx|，如图当直线y=-x+a与g（x）相切时是a的最大值时，设切点为A（x，y），
则-1=（-lgx）'，得到x=lge，所以y=-lg（lge），
所以切线方程为：y+lg（lge）=-（x-lge），令x=0得到y=lge-lg（lge），
所以a的取值范围为：（-∞，lge-lg（lge））；
故选A．

点评 本题考查了不等式恒成立问题；关键是分解为两个函数图象的位置关系问题，借助于数形结合求得；属于中档题．