Question

15．已知P是△ABC内一点，且满足2$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，那么S_△PBC：S_PCA：S_△PAB等于（　　）

• A． 4：3：2
• B． 2：3：4
• C． $\frac{1}{4}$：$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$：$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{PA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$．延长PB到B₁，使得$\overrightarrow{P{B}_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}$，延长PC到C₁，使得$\overrightarrow{P{C}_{1}}=2\overrightarrow{PC}$，则P是△PB₁C₁的重心，设${S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=3S，则${S}_{△AP{B}_{1}}={S}_{△AP{C}_{1}}={S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=S，由此能求出S_△PBC：S_△PCA：S_△PAB的值．

解答 解：∵P是△ABC内一点，且满足2$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}+\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$．
延长PB到B₁，使得$\overrightarrow{P{B}_{1}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PB}$，延长PC到C₁，使得$\overrightarrow{P{C}_{1}}=2\overrightarrow{PC}$，
连结PB₁、PC₁、B₁C₁，则$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{P{B}_{1}}+\overrightarrow{P{C}_{1}}=\overrightarrow{0}$．
∴P是△PB₁C₁的重心，
设${S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=3S，则${S}_{△AP{B}_{1}}={S}_{△AP{C}_{1}}={S}_{△P{B}_{1}{C}_{1}}$=S，
${S}_{△PBC}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×S=\frac{1}{3}S$，
S_△PCA=$\frac{1}{2}S$，S_△PAB=$\frac{2}{3}S$，
∴S_△PBC：S_△PCA：S_△PAB=$\frac{1}{3}S：\frac{1}{2}S：\frac{2}{3}S$=2：3：4．
故选：B．

点评 本题考查三个三角形面积之比的求法，考查向量、三角形重心定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．