Question

5．已知△OBC中，点A是线段BC的中点，点D是线段OB的一个靠近O的三等分点，设$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{b}$
（1）用向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{OA}$；
（2）若点E是线段OA靠近A的三等分点，证明$\overrightarrow{DE}$平行于$\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （1）根据向量的三角形法则即可求出，
（2）根向量的三角形法则和向量的数乘运算可得$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$，问题得以证明

解答 解：（1）$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$，
（2）证明：∵点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，点E是线段OA靠近A的三等分点，
∴$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OD}$=-$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{b}$，
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{DE}$平行于$\overrightarrow{BC}$．

点评 本题考查的知识点是向量加减法的三角形法则和向量的共线定理，属于基础题．