Question

13．在△ABC中，内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{3π}{2}$，-sin$\frac{3π}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），且满足|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{3}$
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=$\sqrt{3}$a，判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由|m+n|=$\sqrt{3}$，得有$mn=\frac{1}{2}$，由向量运算得$sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$，即可求得A．
（2）由正弦定理得$sinB+sinC=\sqrt{3}sinA$，即sin（120⁰-C）+$sinC=\frac{3}{2}$，整理得$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\frac{3}{2}$，即可求出C．

解答 （1）解：因为|m+n|=$\sqrt{3}$，|m|=1，|n|=1所以有$mn=\frac{1}{2}$，
由向量运算得$cos\frac{3π}{2}cos\frac{A}{2}-sin\frac{3π}{2}sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$
所以$cos（\frac{3π}{2}+\frac{A}{2}）=\frac{1}{2}$，即有$sin\frac{A}{2}=\frac{1}{2}$，
因为在三角形中有A∈[0，π]所以$A=\frac{π}{3}$．
（2）因为$b+c=\sqrt{3}a$，
由正弦定理得$sinB+sinC=\sqrt{3}sinA$，
所以sin（120⁰-C）+$sinC=\frac{3}{2}$，整理得$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{3}{2}sinC=\frac{3}{2}$
所以$sin（C+{30}^{0}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以C+30⁰=60⁰或C+30⁰=120⁰，
所以得到C=30°或C=90°，
所以△ABC为直角三角形．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理与余弦定理的综合应用，属于中档题．