Question

11．如图，将直角△ABC沿着平行BC边的直线DE折起，使得平面A′DE⊥平面BCDE，其中D、E分别在AC、AB边上，且AC⊥BC，BC=3，AB=5，点A′为点A折后对应的点，当四棱锥A′-BCDE的体积取得最大值时，求AD的长．

Answer 1

分析 由勾股定理易得AC=4，设AD=x，则CD=4-x．由△AED∽△ABC，得$DE=\frac{3}{4}x$，求出四棱锥A′-BCDE的体积V（x）=$\frac{1}{8}（16x-{x}^{2}）$（0＜x＜4），由此利用导数性质能求出结果．

解答 解：由勾股定理得AC=4，设AD=x，则CD=4-x．
因为△AED∽△ABC，所以$DE=\frac{3}{4}x$，
则四棱锥A′-BCDE的体积为：
$V（x）=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（{\frac{3}{4}x+3}）×（{4-x}）×x=\frac{1}{8}（{16x-{x^2}}）（{0＜x＜4}）$，
所以$V′（x）=\frac{1}{8}（{16-3{x^2}}）（{0＜x＜4}）$，
当$0＜x＜\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$时，V′（x）＞0，V（x）递增；
当$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}＜x＜4$时，V′（x）＜0，V（x）递减．
故$x=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
故$AD=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$时，V（x）取得最大值．

点评 本题考查四棱锥体积取最大值时线段长的求法，考查棱锥性质、导数、勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．