Question

3．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{1}{2}$，直线$y=x+\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆E的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆E相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆E的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，直线$y=x+\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆E的短半轴长为半径的圆相切，列出方程求出a，b，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）令l：y=kx+m（k≠0），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，由此利用韦达定理、根的判别式，向量数量积、圆的性质，结合已知条件能证明直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{1}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．
∵直线$y=x+\sqrt{6}$与以原点为圆心，以椭圆E的短半轴长为半径的圆相切，
∴$r=\frac{{|{\sqrt{6}}|}}{{\sqrt{1+1}}}=b$，解得$b=\sqrt{3}$，a=2．
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
证明：（Ⅱ）令l：y=kx+m（k≠0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），取立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，
联立消y得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}}\\{{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}}\end{array}}\right.$，…（6分）
且△=64k²m²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，
整理得：4k²＞m²-3，
∵以AB为直径的圆过右顶点N（2，0）
∴$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}=（{x_1}-2）（{x_2}-2）+{y_1}{y_2}=7{m^2}+4{k^2}+16km=0$，
化简得$7{（\frac{m}{k}）^2}+16\frac{m}{k}+4=0$，
∴$\frac{m}{k}=-\frac{2}{7}$，或$\frac{m}{k}=-2$，…（10分）
∵当$\frac{m}{k}=-2$时．l：y=k（x-2）过定点N（2，0）不合题意
∴$\frac{m}{k}=-\frac{2}{7}$，故$l：y=k（x-\frac{2}{7}）$过定点$N（\frac{2}{7}，0）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，考查圆、椭圆、韦达定理、根的判别式，向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．