Question

已知函数y=

ax+b

x2-x+1

的值域是[-1，4]，求实数a，b的值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：判别式法

分析：将分式化成整式，化为关于x的二次方程，由△≥0，得出关于y的不等式，-1和4是所对应的方程的两个根，代入即可求得a、b的值．

解答： 解：由y=

ax+b

x2-x+1

得yx²-（y+a）x+y-b=0，
①当y=0时，方程有解，适合题意思；
②当y≠0时，△=（y+a）²-4y（y-b）≥0，化简得，3y²-（2a+4b）y-a²≤0，
∵函数的值域为[-1，4]，∴-1，4是方程3y²-（2a+4b）y-a²=0的两根，
∴

3+2a+4b-a2=0 48-8a-16b-a2=0

解得

a=2 3 b= 9-4 3 4

或

a=-2 3 b= 9+4 3 4

，
综上得：

a=2 3 b= 9-4 3 4

或

a=-2 3 b= 9+4 3 4

．

点评：分母和分子次数最高为二次解析式，常用△法求函数的值域，即由△≥0得出关于y的不等式，求出y的取值范围．属于常规题．