Question

已知圆内接四边形ABCD中，O为圆心，AB=2，BC=6，AD=CD=4．
（1）求∠BAD的大小和半径AO的长；
（2）若

AO

=x

AB

+y

AD

，求x+y的值；
（3）若P是弧BAD上的动点，

OP

=λ

OB

+μ

OD

，求λ+μ的最大值和最小值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）连结BD，在△ABD和△CBD中，通过余弦定理可得∠BAD的大小，利用正弦定理即可求解半径AO的长；
（2）以O为坐标原点，OD所在直线为x轴，建立直角坐标系，利用

AO

=x

AB

+y

AD

，列出方程组即可求x+y的值；
（3）设P（Rcosθ，Rsinθ），利用

OP

=λ

OB

+μ

OD

，求出λ+μ的表达式，利用三角函数的值域求解其最大值和最小值．

解答： 解：（1）连结BD，在△ABD和△CBD中，
由余弦定理可得：
BD²=AB²+AD²-2AD•ABcos∠BAD=4+16-16cos∠BAD，
BD²=CB²+CD²-2CD•CBcos∠BCD=36+16+cos∠BAD，
∴4+16-16cos∠BAD=36+16+cos∠BAD
∴cos∠BAD=-

1

2

，
∴∠BAD=120°．
从而BD=2

7

，AO=

7

sin120°

=

2 21

3

．
（2）在三角形AOD中，由余弦定理可知：cos∠AOD=

1

7

＞0，sin∠AOD=

4 3

7

，
以O为坐标原点，OD所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则D(

2 21

3

，0)，A(

2 21

21

，

8 7

7

)，B(-

21

3

，

7

)，
由

AO

=x

AB

+y

AD

，
得

-2=-9x+12y 8=-x-y

得x=-

94

21

，y=-

74

21

，
x+y=-8．
（3）设P（Rcosθ，Rsinθ），θ∈[0，

2π

3

]，
由

OP

=λ

OB

+μ

OD

，
得

Rcosθ=- 1 2 Rλ+μR Rsinθ= 3 2 λR

∴λ+μ=

2 3

3

sinθ+cosθ=2sin(θ+

π

6

)
∵θ∈[0，

2π

3

]
∴（λ+μ）_max=2，（λ+μ）_min=1．

点评：本题考查余弦定理以及正弦定理向量的相等关系的应用，三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力．