Question

求证：x

1

3

+y

1

3

=1为轴对称图形．

Answer 1

考点：几何中的变换：对称、平移、旋转

专题：证明题,直线与圆

分析：在方程表示的图形上任取一点P（m，n），则m

1

3

+n

1

3

=1，则有点Q（n，m）也在方程表示的图形上．求出PQ的中垂线方程，即可得证．

解答： 证明：由于x

1

3

+y

1

3

=1，则x＞0，y＞0，
在方程表示的图形上任取一点P（m，n），
则m

1

3

+n

1

3

=1，
则有点Q（n，m）也在方程表示的图形上．
由于PQ的中点M为（

m+n

2

，

m+n

2

），
直线PQ的斜率为

n-m

m-n

=-1，
则有直线PQ的中垂线方程为：y-

m+n

2

=x-

m+n

2

，
即P，Q关于直线y=x对称，
由于P为任意的点，则P关于直线y=x对称的点都在方程表示的图形上．
则x

1

3

+y

1

3

=1为轴对称图形．

点评：本题考查图形的对称性，考查点关于直线对称的特点，考查运算能力，属于基础题．