Question

【题目】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM＝AN＝1.

（1）证明：M，N，C，D1四点共面；

（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.

Answer 1

【答案】（1）略（2）

【解析】（1）证明：连接A1B，

在四边形A1BCD1中，A1D1∥BC且A1D1＝BC

所以四边形A1BCD1是平行四边形

所以A1B∥D1C

在△ABA1中，AM＝AN＝1，AA1＝AB＝3，

所以，

所以MN∥A1B

所以MN∥D1C

所以M，N，C，D1四点共面.

（2）记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1－AMN，D1－ADN，D1－CDN均为三棱锥，

所以V1＝

＝S△AMN·D1A1＋S△ADN·D1D＋S△CDN·D1D

＝××3＋××3＋××3

＝.

从而V2＝－V1＝27－＝，所以，

所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.