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    （2013•黑龙江二模）已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，
    3
    2
    ）两点，O为坐标原点．
    （I ）求椭圆C的方程；
    （II）若以点O为端点的两条射线与椭圆c分别相交于点M，N且
    MN
    丄
    ON
    ，证明：点O到直线MN的距离为定值．
    分析：（I）利用椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，
    3
    2
    ）两点，建立方程组，求出几何量，即可求椭圆C的方程；
    （II）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量知识及韦达定理，即可求得结论．
    解答：（I）解：∵椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过A（2，0）和B（1，
    3
    2
    ）两点，
    ∴
    a=2
    1
    a2
    +
    9
    4b2
    =1
    ，
    ∴a=2，b=
    		3

    ∴椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （II）证明：①当直线MN的斜率不存在时，其方程为x=±
    2
    		21
    7
    ，则点O到直线MN的距离为
    2
    		21
    7
    ；
    ②当直线MN的斜率存在时，其方程为y=kx+m，设M，N两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
    将y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，则x1+x2=-
    8km
    3+4k2
    ，x1x2=
    4m2-12
    3+4k2

    令△＞0，解得m2＜4k2+3，
    ∵
    MN
    丄
    ON
    ，∴x1x2+y1y2=0，
    ∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
    ∴（1+k2）•
    4m2-12
    3+4k2
    -km•
    8km
    3+4k2
    +m2=0，
    ∴m2=
    12(k2+1)
    7
    ＜4k2+3
    ∴点O到直线MN的距离为d=
    |m|
    		1+k2
    =
    2
    		21
    7
    ，
    由①②可得点O到直线MN的距离为定值
    2
    		21
    7
    ．
    点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，考查点到直线的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    3
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    4
    5
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    3
    5
    ）x+（
    4
    5
    ）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为
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    ．

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