Question

（本小题满分12分）如图所示，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|＋|PB|的值不变．

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，问是否存在这样的直线使 与平行，若平行,求出直线的方程, 若不平行,请说明理由.

Answer 1

，x=0

解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系．………………1分
 
,以A、B为焦点的椭圆,   …… 3分
设长半轴长为a,短半轴长b,半焦距为c
 所以所求椭圆C的方程为             ……………………… 5分
（Ⅱ），即方程为x=0是，，所以与平行，符合……… 6分
当K存在时，设直线l方程为y=kx+2
    消去，整理得(5k²+1)x²+20kx+15="0,   " ……………………………… 7分
设
 得：         ………………………… 8分
,               ………………………… 9分
  =(2,1)
与平行

                       ………………………………………………………………… 11分
与矛盾，舍去
       该直线方程为x="0                              " ………………………………………… 12分