Question

已知函数f（x）=

ex+1

ax2+4x+4

，其中a∈R
（Ⅰ）若a=0，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，试确定函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）利用导数求极值；
（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）由a=0得f（x）=

ex+1

4x+4

，∴f′（x）=

ex+1(4x+4)-4ex+1

16(x+1)2

=

xex+1

4(x+1)2

∴由f′（x）=0得x=0，又∵x＜0时，f′（x）＜0；x＞0时，f′（x）＞0
∴x=0时，f（x）有极小值为

e

4

．
（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）=

x(ax+4-2a)ex+1

(ax2+4x+4)2

∴f′（x）=0的两根为0，

2a-4

a

．
∴当1＜a＜2时，由f′（x）＞0得x＜

2a-4

a

或x＞0，故f（x）的递增区间为（-∞，

2a-4

a

），（0，+∞）
由f′（x）＜0得

2a-4

a

＜x＜0，故f（x）的递减区间为（

2a-4

a

，0）；
当a≥2时，由f′（x）＞0得x＞

2a-4

a

或x＜0，故f（x）的递增区间为（

2a-4

a

，+∞），（-∞，0）
由f′（x）＜0得0＜x＜

2a-4

a

，故f（x）的递减区间为（0，

2a-4

a

）；

点评：考查学生运用导数求函数的极值及单调区间的方法，解题时注意对a进行分类讨论．