Question

已知函数f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值及相应x的值；
（2）当x∈（0，π），求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与二倍角公式对函数解析式化简，利用三角函数的图象和性质求得最小正周期T，和函数最大值及相应x的值；
（2）利用三角函数图象与性质求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

2

sin2x-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin（2x-

π

6

）+1
∴T=

2π

2

=π，当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

（k∈Z）时，sin（2x-

π

6

）=1，f（x）_max=2
（2）∵x∈（0，π），
∴2x-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴当

π

2

≤2x-

π

6

≤

3π

2

，即x∈[

π

3

，

5π

6

]时，函数单调递减，
∴x∈（0，π），求函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

，

5π

6

]．

点评：本题主要考查了利用两角和公式，二倍角公式的应用，三角函数图象与性质．化简一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．