Question

已知函数 f（x）=

1

2

x²-（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+2=0平行，求a的值：
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；
（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；
（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，即求f（x）_min≥k²+6k恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x-（3a+1）+

2a(2a+1)

x

-------------------------------1分
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-y+2=0平行，
∴f′（1）=1-（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a²-a-3=0．------------------------2分
解得a=

3

2

或a=-1（不符合题意，舍去），∴a=

3

2

．------------------------4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-（3a+1）+

2a(2a+1)

x

-------------------------5分
①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，
当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．------------------7分
②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，---------------------------8分
③当a＞1时，2a＞a+1，
∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．------------------10分
（Ⅲ）当a=

3

2

时，f（x）=

x2

2

-

11x

2

+

15

2

lnx，
由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，

5

2

）上单调递增，在（

5

2

，3）上单调递减，
因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．----------------------------------11分
∵f（1）=-5，f（e）=

e2

2

-

11e

2

+

15

2

，
∴f（e）-f（1）=

e2-11e+25

2

．
设g（x）=x²-11x+25，则g（x）在（-∞，

11

2

）上单调递减，且e＜3＜

11

2

，
∴g（e）＞g（3），故f（e）-f（1）＞0．
∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=-5．----------------------------13分
若要满足对对?x∈[1，e]，f（x）≥k²+6k恒成立，只需f（x）_min≥k²+6k恒成立，
即求-5≥k²+6k恒成立，即k²+6k+5≤0，解得-5≤k≤-1．
∴实数k的取值范围是[-5，-1]．---------------------------------------14分

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．体会数学转化思想的运用．