Question

如图，在三棱锥A-BCD中，BA=BD，AD⊥CD，E、F分别为AC、AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BCD；
（Ⅱ）求证：平面EFB⊥平面ABD；
（Ⅲ）若BC=BD=CD=AD=2，AC=2

2

，求二面角B-AD-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出EF∥CD，由此能够证明EF∥平面BCD．
（Ⅱ）由已知条件推导出EF⊥AD，BF⊥AD，从而得到AD⊥平面EFB，由此能够证明平面EFB⊥平面ABD．
（Ⅲ）由已知条件推导出∠BFE即为所求二面角B-AD-C的平面角，由此能求出二面角B-AD-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在△ACD中，∵E，F是AC，AD的中点，
∴EF∥CD，
∵EF不包含于平面BCD，CD?平面BCD，
∴EF∥平面BCD．
（Ⅱ）证明：在△ACD中，AD⊥CD，EF∥CD，
∴EF⊥AD，
∵在△ABD中，BA=BD，F为AD的中点，
∴BF⊥AD，
∵EF?平面EFB，BF?平面EFB，且EF∩BF=F，
∴AD⊥平面EFB，
∵AD?平面ABD，∴平面EFB⊥平面ABD．
（Ⅲ）解：二面角B-AD-C即为二面角B-AD-E，
由（Ⅱ）知EF⊥AD，BF⊥AD，
∴∠BFE即为所求二面角B-AD-C的平面角，
在△BEF中，∵BC=BD=CD=AD=2，AC=2

2

，
∴BF=

3

，EF=1，BE=

2

，
由余弦定理，得cos∠BFE=

BF2+EF2-BE2

2BF•EF

=

3+1-2

2 3

=

3

3

，
∴二面角B-AD-C的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考进平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．