Question

已知函数f(x)=x+

a

x

（a＞0）．
（1）证明：当x＞0时，f（x）在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数，并写出当x＜0时f（x）的单调区间；
（2）已知函数h(x)=x+

4

x

-8，x∈[1，3]，函数g（x）=-x-2b，若对任意x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得g（x₂）=h（x₁）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义可证明x＞0时的单调性，根据奇函数性质可求x＜0时f（x）的单调区间；
（2）对任意x₁∈[1，3]，总存在x₂∈[1，3]，使得g（x₂）=h（x₁）成立，等价于h（x）的值域为g（x）值域的子集，利用函数单调性易求两函数值域；

解答： （1）证明：当x＞0时，
①设x₁，x₂是区间(0，

a

]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x1+

a

x1

)-(x2+

a

x2

)=(x1-x2)+a(

x2-x1

x1x2

)=（x₁-x₂）•

x1x2-a

x1x2

，
∵x₁，x₂∈(0，

a

]，且x₁＜x₂，
∴0＜x₁x₂＜a，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在(0，

a

]上是减函数，
②同理可证在f（x）在[

a

，+∞)上是增函数；
综上所述得：当x＞0时，f（x）在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
∵函数f(x)=x+

a

x

(a＞0)是奇函数，根据奇函数图象的性质可得，
当x＜0时，f（x）在[-

a

，0)是减函数，在(-∞，-

a

]是增函数．
（2）解：∵h(x)=x+

4

x

-8（x∈[1，3]），
由（Ⅰ）知：h（x）在[1，2][1，3]上单调递减，[2，3]上单调递增，
∴h（x）_min=h（2）=-4，h（x）_max=maxh（3），h（1）=-3，
h（x）∈[-4，-3]，
又∵g（x）在[1，3]上单调递减，
∴由题意知，[-4，-3]⊆[-3-2b，-1-2b]，
于是有：

-3-2b≤-4 -1-2b≥-3

，解得

1

2

≤b≤1．
故实数b的范围是

1

2

≤b≤1．

点评：本题考查函数单调性的证明、应用，考查集合的简单运算，考查恒成立问题的求解，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．