Question

用一根长为10m的绳索围成一个圆心角为α（0＜α＜π），半径不超过2m的扇形场地，设扇形的半径为x m，面积为S m²．
（1）写出S关于x的表达式，并求出此函数的定义域
（2）当半径x和圆心角α分别是多少时，所围成的扇形场地的面积S最大，并求最大面积．

Answer 1

考点：扇形面积公式,基本不等式

专题：三角函数的求值

分析：（1）直接利用扇形的周长公式以及面积公式写出S关于x的表达式，并求出此函数的定义域．
（2）利用二次函数的单调性求出当半径x和圆心角α分别是多少时，所围成的扇形场地的面积S最大，直接求最大面积．

解答： 解：（1）扇形的半径为x m，扇形的周长10m，
扇形的弧长为：10-2x，m
∴S=

1

2

（10-2x）x=-x²+5x，x∈（

10

π+2

，2]．
（2）∵S=-x²+5x，x∈（

10

π+2

，2]．函数S在x∈（

10

π+2

，2]上是增函数，
∴x=2时扇形面积最大，此时扇形的圆心角：

6

2

=3，
扇形面积的最大值为：6m²．

点评：本题考查扇形面积公式以及周长公式的应用，二次函数的最大值的求法．