Question

化简求值：
（1）

2cos10°-sin20°

cos20°

；
（2）已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos

α+β

2

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,三角函数的化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用cos10°=sin80°=sin（60°+20°），利用两角和的正弦公式展开，合并即可．
（2）求出α-

β

2

的正弦函数值，

α

2

-β的余弦函数值，然后利用

α+β

2

=（α-

β

2

）-（

α

2

-β）通过两角和与差的三角函数求解所求表达式的值即可．

解答： 解：（1）∵2cos10°=2sin80°
=2sin（60°+20°）
=2（

3

2

cos20°+

1

2

sin20°）
=

3

cos20°+sin20°，
∴

2cos10°-sin20°

cos20°

=

3 cos20°

cos20°

=

3

．
（2）cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，且

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，
∴α-

β

2

∈（

π

4

，π），∴sin（α-

β

2

）=

1-(- 1 9 )2

=

4 5

9

．

α

2

-β∈(-

π

4

，

π

4

)，cos（

α

2

-β）=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
∴cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=-

1

9

×

5

3

+

2

3

×

4 5

9

=

7 5

27

．

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，角的变换，以及“2cos10°=2sin80°=2sin（60°+20°）”的思考与转化，属于中档题．