Question

已知函数f(x)=x+

1

x

．
（Ⅰ）求证函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）用定义证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

（Ⅰ）证明：函数的定义域是（-∞．0）∪（0，+∞）
由f(x)=x+

1

x

，
可得f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，
所以函数f（x）为奇函数．
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)

x1x2-1

x1x2

，
由x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，可知x₁＜x₂，x₁x₂-1＞0，
所以f（x₁）＜f（x₂）．
即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数