Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=

1

2

AD，E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明AD⊥PE，再证明PE⊥AB．AD∩AB=A，推出PE⊥平面ABCD．然后证明PE⊥CD．
（Ⅱ）说明PE是四棱锥P-ABCD的高．求出PE=

3

．然后求出VP-ABCD=

1

3

SABCD?PE=

1

3

×

1

2

(1+2)×2×

3

=

3

．
（Ⅲ）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．推出

ED

=(2，1，0)，

EP

=(0，0，

3

)，

PC

=(1，-1，-

3

)．设

m

=（x，y，z）为平面PDE的法向量．利用由

m ? ED =0 m ? EP =0

即，

2x+y=0 3 z=0

可得

m

=（1，-2，0）．设PC与平面PDE所成的角为θ．利用sinθ=|cos＜

PC

，m＞|=

| PC ?m|

| PC ||m|

=

3

5

．推出PC与平面PDE所成角的正弦值为

3

5

．

解答：（Ⅰ）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．（2分）
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=

1

2

AD，可得BC=1．
因为△PAB是等边三角形，
可求得PE=

3

．
所以VP-ABCD=

1

3

SABCD?PE=

1

3

×

1

2

(1+2)×2×

3

=

3

．（9分）
（Ⅲ）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，

3

）．

ED

=(2，1，0)，

EP

=(0，0，

3

)，

PC

=(1，-1，-

3

)．
设

m

=（x，y，z）为平面PDE的法向量．
由

m ? ED =0 m ? EP =0

即，

2x+y=0 3 z=0

令X=1，可得m=（1，-2，0）．（12分）
设PC与平面PDE所成的角为θ．
sinθ=|cos＜

PC

，m＞|=

| PC ?m|

| PC ||m|

=

3

5

．
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为

3

5

．（14分）

点评：本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．