Question

17．如图，在平面四边形ABCD中，AD=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{2}$，∠ABD=60°，∠ADB=75°，
∠ADC=120°．
（1）求BD的长；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）求出，∠ABD=60°，∠BAD=180°-60°-75°=45°，利用正弦定理，求BD的长；
（2）利用△ABD的面积+△BCD的面积-△ACD的面积，即可求△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABD中，AD=$\sqrt{6}$，∠ABD=60°，∠BAD=180°-60°-75°=45°，
由正弦定理得 $\frac{BD}{sin45°}$=$\frac{\sqrt{6}}{sin60°}$，所以BD=2．…（4分）
（2）在△ABD中，AD=$\sqrt{6}$，BD=2，∠ADB=75°，
所以△ABD的面积S₁=$\frac{1}{2}$AD•BD•sin∠ADB=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．…（8分）
又△ACD的面积S₂=$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{3}{2}$，…（10分）
△BCD的面积S₃=1．…（12分）
所以△ABC的面积S=S₁+S₃-S₂=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．…（14分）

点评 本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．