Question

19．已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2）且圆心C在直线上l：x-y+1=0
（1）圆心为C的圆的标准方程；
（2）若圆 C被过点（1，1）的直线l₁截得的弦长为6，求直线l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设圆的标准方程为（x-a）²+（y-a-1）²=r²，将题中点的坐标代入，解关于a、r的方程组得a=-3，r²=25，即可得到圆C的标准方程．
（2）由弦长公式求出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离，由这两个距离相等求出直线的斜率，即得直线的方程．

解答 解：（1）由圆心在直线x-y+1=0上，设圆心C的坐标为（a，a+1）
圆的标准方程为（x-a）²+（y-a-1）²=r²，可得
（1-a）²+（1-a-1）²=r²，（2-a）²+（-2-a-1）²=r²，解之得a=-3，r²=25
∴圆C的标准方程为（x+3）²+（y+2）²=25；
（2）圆心C到直线l的距离为$\sqrt{25-9}$=4，
当直线l垂直于x轴时，方程为x=1，满足条件；
设直线l的方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
由$\frac{|-3k+2-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k=-$\frac{7}{24}$，
所以直线l的方程为7x+24y-31=0．
综上所述，直线l的方程为7x+24y-31=0或x=1．

点评 本题考查求圆的标准方程的方法，点到直线的距离公式的应用，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率是解题的关键．