Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆上一点，且满足$\overrightarrow{{F_1}M}$•$\overrightarrow{{F_2}M}$=0，
（1）求离心率e的取值范围；
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为5$\sqrt{2}$，
①求此时椭圆的方程；
②过点F₂作斜率为k（k≠0）直线l交椭圆于不同的两点A、B，其中一点A关于x轴的对称点为A'，则直线A'B的是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆短轴的两个端点对椭圆焦点展开的角是椭圆上的点对焦点展开的角中的最大角，可得b≤c，即c²≥b²=a²-c²，化简解出即可得出．
（2）①当离心率e取得最小值时，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，a=$\sqrt{2}c$，b=c．椭圆的方程可化为：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，设椭圆上的任意一点P（$\sqrt{2}$bcosθ，bsinθ），可得点N（0，3）到椭圆上的点P的距离d=$\sqrt{2{b}^{2}-（bsinθ+3）^{2}+18}$，可知：当且仅当bsinθ+3=0时，d取得最大值$\sqrt{2{b}^{2}+18}$=5$\sqrt{2}$，解得b²，即可得出．
②直线l的方程为：y=k（x-4），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．与椭圆方程联立化为：（1+2k²）x²-16k²x+32k²-32=0，直线A′B的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），把y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），代入上述方程化简后，令y=0，化为：x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，把根与系数的关系代入即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆短轴的两个端点对椭圆焦点展开的角是椭圆上的点对焦点展开的角中的最大角，
∴b≤c，∴c²≥b²=a²-c²，∴$\frac{c}{a}$$≥\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴e∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
（2）①当离心率e取得最小值时，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{c}{a}$，∴a=$\sqrt{2}c$，b=c．
椭圆的方程可化为：$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
设椭圆上的任意一点P（$\sqrt{2}$bcosθ，bsinθ），
点N（0，3）到椭圆上的点P的距离d=$\sqrt{（\sqrt{2}bcosθ）^{2}+（bsinθ-3）^{2}}$=$\sqrt{2{b}^{2}-（bsinθ+3）^{2}+18}$
当且仅当bsinθ+3=0时，d取得最大值$\sqrt{2{b}^{2}+18}$=5$\sqrt{2}$，解得b²=16．
∴此时椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
②F₂（4，0）．
直线l的方程为：y=k（x-4），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=32}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²-16k²x+32k²-32=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{32{k}^{2}-32}{1+2{k}^{2}}$．
直线A′B的方程为：y+y₁=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
由y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4），代入上述方程可得：（y+kx₁-4k）（x₂-x₁）=[k（x₁+x₂）-8k]（x-x₁），
令y=0，化为：x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$=$\frac{\frac{64（32{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}-\frac{64{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}{\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-8}$=8．
∴直线A'B经过定点（8，0）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数的关系、直线经过定点问题、两点之间距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．