Question

已知直线l：y=x+k经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，(a＞1)的右焦点F₂，且与椭圆C交于A、B两点，若以弦AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F₁，试求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：由题意知椭圆焦距c=1，F₂（1，0），代入y=x+k，得k=-1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用垂直关系即可求得a值，由此能求出椭圆方程．

解答：解：设椭圆焦距为2c，则c=

a2-(a2-1)

=1…（1分）
∴F₂（1，0），代入y=x+k  得k=-1
将y=x-1代入椭圆方程整理得：（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0…（4分）
∵A、B点在直线l上，设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1）
∵AF₁⊥BF₁  又F₁（-1，0）
∴

x1-1

x1+1

•

x2-1

x2+1

=-1，即x1x2=-1…（8分）  
由韦达定理，

2a2-a4

2a2-1

=-1
解得a2=2+

3

或a2=2-

3

(∵a＞1舍)…（10分）
∴a2-1=2+

3

-1=1+

3

∴

x2

2+ 3

+

y2

1+ 3

=1为所求方程．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考要直线和椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意韦达定理、直线垂直等知识点的合理运用．