Question

已知直线l：y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点为（

2

3

， 

1

3

)．
（1）求此椭圆的离心率．
（2）若椭圆右焦点关于直线l：y=-x+1的对称点在圆x²+y²=5上，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；设出A、B两点的坐标，由根与系数的关系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；从而得线段AB的中点坐标，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（c，0），F关于直线l的对称点为（1，1-c），代入圆的方程 x²+y²=1，得出c的值，从而得椭圆的方程．

解答：解：（1）由

y=-x+1 x2 a2 + y2 b2 =1

得（b²+a²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
△=4a⁴-4（a²+b²）（a²-a²b²）＞0⇒a²+b²＞1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

2a2

b2+a2

∵线段AB的中点为（

2

3

， 

1

3

)，
∴

2a2

b2+a2

=

4

3

，于是得：a²=2b²
又 a²=b²+c²，∴a²=2c²，∴e=

2

2

（2）设椭圆的右焦点为F（c，0），则点F关于直线l：y=-x+1的对称点P（1，1-c）
由已知点P在圆x²+y²=5上，
∴1+（1-c）²=5，整理得c²-2c-3=0，解得c=3或c=-1
∵c＞0，∴c=3，从而a²=18，b²=c²=9，
所求的椭圆方程为：

x2

18

+

y2

9

=1

点评：本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑思维能力和计算能力．解题时应细心解答．