Question

5．已知点F为抛物线C：y²=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线于A、B两点，若点P的纵坐标是m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．
（1）若m=2，求△DAB的面积；
（2）设$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，求证λ+μ为定值．

Answer 1

分析 （1）由题知点P，F的坐标分别为（-1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式求出面积；
（2）$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．

解答 （1）解：由题知点P，F的坐标分别为（-1，2），（1，0），
于是直线PF的斜率为1，
所以直线PF的方程为y=-（x-1），
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由直线与抛物线联立得x²-6x+1=0，
所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
于是|AB|=x₁+x₂+2=8．
点D到直线x+y-1=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以S=$\frac{1}{2}×8×\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
（2）证明：由直线y=-$\frac{m}{2}$（x-1），与抛物线联立得m²x²-（2m²+16）x+m²=0，
所以x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}+16}{{m}^{2}}$，x₁x₂=1．
因为$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AP}$=μ$\overrightarrow{PB}$，
所以（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），（-1-x₁，m-y₁）=μ（x₂+1，y₂-m），
于是λ=$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$，μ=$\frac{-1-{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$ （x₂≠±1）．
所以λ+μ=$\frac{1-{x}_{1}}{{x}_{2}-1}$+$\frac{-1-{x}_{1}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{2}-1）（{x}_{2}+1）}$=0．

点评 本题考查直线方程、抛物线焦点弦弦长公式、点到直线的距离公式及向量中数乘向量的意义，涉及知识较多，综合性较强．