Question

【题目】如图，组合体由半个圆锥和一个三棱锥构成，其中是圆锥底面圆心，是圆弧上一点，满足是锐角，.

（1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明；

（2）在（1）中，若是中点，且，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）①延长交的延长线于点；②连接；③过点作交于点，可得点P.

（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，所以，从而.依题意，两两垂直，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系,运用空间向量线面角的求解方法可得解.

（1）①延长交的延长线于点；②连接；③过点作交于点.

（2）若是中点，则是中点，又因为，所以，所以，从而.

依题意，两两垂直，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

则，

从而，

设平面的法向量为，

则即取，得.

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.