Question

【题目】如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，且，点M为的中点，，且平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求四棱锥的体积及平面将四棱锥分成的两部分的体积比.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据给出的条件和余弦定理求出的值，利用勾股定理可得，即可证明平面，即可证明平面平面；

（2）首先确定直线与平面所成角为，再求出，最后分别求出分成的两部分的体积，求出比值.

解：（1）证明：∵，由余弦定理可得，

∴，

∴.

∵平面平面，

平面平面，

∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）过点P作，点H为中点，连接，

∵平面平面，平面平面，

平面，则即为直线与平面所成角.

在中，，

∴.

在中，，

可得，

故，

，

所以另一部分的体积

，

可知两部分的体积比为

或.