Question

【题目】规定，其中，是正整数，且，这是组合数（、是正整数，且）的一种推广.

（1）求的值；

（2）设，当为何值时，取得最小值？

（3）组合数的两个性质：①.②.是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，取得最小值（3）性质①不能推广，详见解析；性质②能推广，它的推广形式为（，是正整数），证明见解析；

【解析】

（1）由题意可得，运算求得结果．

（2）根据，再利用二次函数的性质求得式子的最小值．

（3）性质①不能推广，通过举反例可知．性质②能推广，它的推广形式是，，是正整数．根据题中的规定化简运算可以证得．

（1）由题意可得．

（2），

，故当，即时，取得最小值。

（3）性质①不能推广，例如当时，有定义，但无意义；

性质②能推广，它的推广形式是，，是正整数，

事实上，当时，有．

当时

．