[题目]已知函数.(Ⅰ)当时.求的最大值,(Ⅱ)若对恒成立.求的取值范围,(Ⅲ)证明题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知函数，

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）证明

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而确定的具体范围即可；（Ⅲ）得到，取，作差证出结论即可.

试题解析：（Ⅰ）当时，，，当时，单调递增，当时，单调递减，函数的最大值.

（Ⅱ），，当时，恒成立，在上是减函数，适合题意，②当时，，在上是增函数，，不能使在恒成立；③当时，令，得，当时，在上为增函数，，不能使在恒成立，的取值范围是.

（Ⅲ）由（Ⅰ）得， ,取，，则，

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【题目】共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：

租用单车数量（千辆）	2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙： .

（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：

①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：，称为相应于点的残差（也叫随机误差））；

租用单车数量（千辆）		2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值		2.4	2.1		1.6
模型甲	残差		0			0.1
模型乙	估计值		2.3	2	1.9
模型乙	残差		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.

（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4，0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润＝收入—成本）.

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