Question

【题目】已知函数f（x）= 是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0则﹣x＞0，

由x＞0，f（x）=﹣x2+2x，

可得f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，

又f（x）为奇函数，

即有f（﹣x）=﹣f（x），

于是x＜0时，f（x）=x2+2x=x2+mx，

可得m=2

（2）解：由f（﹣1）=1﹣2=﹣1，

又x＞0时，f（x）=﹣x2+2x=﹣1，

可解得x=1+ ．

由于f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上的最小值为﹣1，

作出y=f（x）的图象可得，

，即 ，

所以a∈（1，3+ ]．

【解析】（1）设x＜0则﹣x＞0，运用已知x＞0的解析式，结合奇函数的定义，可得x＜0的解析式，进而得到m=2；（2）求得f（﹣1）=﹣1，再求x＞0时，f（x）=﹣1，解得x=1+ ．画出f（x）的图象，由图象可得a的不等式组，解不等式可得a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值，以及对函数奇偶性的性质的理解，了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．