Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8 y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设C方程为 ，则 ，

由 ，a2=b2+c2，得a=4，

∴椭圆C的方程为

（2）解：①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为 ，

代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0，

由△＞0，解得﹣4＜t＜4，

由韦达定理得x1+x2=﹣t， ．

∴ ，

由此可得：四边形APBQ的面积 ，

∴当t=0， ．

②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），

由 整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，

∴ ，

同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），

可得

∴ ， ， ，

所以直线AB的斜率为定值

【解析】（1）设C方程为 ，则 ，由 ，a2=b2+c2 ， 解出即可得出．（2）①设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB的方程为 ，代入 ，得x2+tx+t2﹣12=0，
由△＞0，解得t范围，利用根与系数的关系可得|x1﹣x2|，由此可得：四边形APBQ的面积S．
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．