Question

【题目】设函数f（x）=﹣ sinx cosx+1 （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0， ]，且f（x）= ，求cosx的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=﹣ sinx cosx+1=﹣sin（x+ ）+1，故该函数的最小正周期为2π， 令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，求得2kπ+ ≤x≤2kπ+ ，可得函数的增区间为[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z．
（Ⅱ）若x∈[0， ]，则x+ ∈[ ， ]，又f（x）= ，即﹣sin（x+ ）+1= ，即sin（x+ ）= ，
∴cos（x+ ）=± =± ．
若cos（x+ ）=﹣ ，则cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin =﹣ + = ＜0，不合题意，舍去．
若cos（x+ ）= ，则cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin = + = ．
综上可得，cosx= ．
【解析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）若x∈[0， ]，利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，求得cosx的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．