【题目】设数列{an}的首项a1为常数,且an+1=3n﹣2an , (n∈N*)
(1)证明:{an﹣ }是等比数列;
(2)若a1= ,{an}中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由.
(3)若{an}是递增数列,求a1的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵an+1=3n﹣2an,(n∈N*),
∴ = =﹣2,
∴数列{an﹣ }是等比数列
(2)解:{an﹣ }是公比为﹣2,首项为a1﹣ = 的等比数列.
通项公式为an= +(a1﹣ )(﹣2)n﹣1= + ×(﹣2)n﹣1,
若{an}中存在连续三项成等差数列,则必有2an+1=an+an+2,
即 = + + ,
解得n=4,即a4,a5,a6成等差数列
(3)解:如果an+1>an成立,
即 + > +(a1﹣ )(﹣2)n﹣1对任意自然数均成立.
化简得 > ×(﹣2)n,
当n为偶数时 ﹣ ,
∵p(n)= ﹣ 是递减数列,
∴p(n)max=p(2)=0,即a1>0;
当n为奇数时,a1 + ,
∵q(n)= + 是递增数列,
∴q(n)min=q(1)=1,即a1<1;
故a1的取值范围为(0,1)
【解析】(1)由于an+1=3n﹣2an , (n∈N*),可得 = =﹣2,即可证明.(2){an﹣ }是公比为﹣2,首项为a1﹣ = 的等比数列.通项公式为an= + ×(﹣2)n﹣1 , 若{an}中存在连续三项成等差数列,则必有2an+1=an+an+2 , 代入解出即可得出.(3)如果an+1>an成立,即 + > +(a1﹣ )(﹣2)n﹣1对任意自然数均成立.化简得 > ×(﹣2)n , 对n分类讨论,利用数列的单调性即可得出.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式(及其变式)的相关知识,掌握通项公式:,以及对数列的通项公式的理解,了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:
(1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程;
(2)BC边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.
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【题目】已知椭圆C的中心在原点,离心率等于 ,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8 y的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,m)、Q(2,﹣m)(m>0)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为 ,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】若两条异面直线所成的角为90°,则称这对异面直线为“理想异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“理想异面直线对”的对数为( )
A.24
B.48
C.72
D.78
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【题目】正四棱锥P﹣ABCD,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则两个棱锥A﹣B1CD1 , P﹣ABCD的体积之比是( )
A.1:4
B.3:8
C.1:2
D.2:3
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(Ⅰ)证明:平面PQC⊥平面DCQ
(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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