Question

已知函数f(x)=x²–(m+1)x+m(m∈R)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角 求证:m≥5;
(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;
(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.

Answer 1

（1）证明:f(x)+4=0即x²–(m+1)x+m+4="0. " 依题意:
 
又A、B锐角为三角形内两内角
∴＜A+B＜π
∴tan(A+B)＜0，即
∴∴m≥5
(2)证明: ∵f(x)=(x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0
即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0
∴m≥x但x_max=3，∴m≥x_max=3
(3)解:
∵f(sinα)=sin²α–(m+1)sinα+m=
且≥2,
∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.
即1+(m+1)+m=8，∴m=3