Question

11．如图，某人在一小斜坡上的点P（坡高h=10m）观看对面一座大楼顶上的广告画，画高BC=8m，画所在的大楼高OB=22m，OA=20m，图上所示的山坡坡面可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=$\frac{1}{2}$．试问：此人所在的点P距水平地面多高时，观看广告画的视角∠BPC最大？（不计此人身高，楼OB与斜坡l在同一平面内）

Answer 1

分析 过P作OB的垂线PM，设PM=x，用x表示出tan∠CPM，tan∠BPM，使用差角的正切公式求出tan∠CPB关于x的函数，使用基本不等式得出tan∠CPB的最值及等号成立的条件．

解答 解：过P点作PM⊥OB于M，设OM=x，（0≤x≤10），则BM=22-x，CM=30-x．PM=20+2x．
∴tan∠CPM=$\frac{CM}{PM}$=$\frac{30-x}{20+2x}$，tan∠BPM=$\frac{BM}{PM}=\frac{22-x}{20+2x}$．
∴tan∠CPB=$\frac{tan∠CPM-tan∠BPM}{1+tan∠CPM•tan∠BPM}$=$\frac{\frac{30-x}{20+2x}-\frac{22-x}{20+2x}}{1+\frac{30-x}{20+2x}×\frac{22-x}{20+2x}}$=$\frac{16（x+10）}{5{x}^{2}+28x+1060}$=$\frac{16}{5（x+10）+\frac{1280}{x+10}-72}$≤$\frac{16}{2\sqrt{5×1280}-72}$=$\frac{2}{11}$．
当且仅当5（x+10）=$\frac{1280}{x+10}$即x=6时，tan∠CPB取得最大值，即∠CPB最大．
∴此人所在的点P距水平地面6m时，观看广告画的视角∠BPC最大．

点评 本题考查了解三角形，基本不等式，函数的最值，属于中档题．