Question

16．已知A（0，0），B（2$\sqrt{3}$，0），C（0，2$\sqrt{6}$），完成下列问题
（1）用向量方法证明：AB⊥AC；
（2）用向量方法求sin∠ABC；
（3）过A作BC的垂线交BC于点D，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）证明数量积为零即可；
（2）使用向量的夹角公式计算cos∠ABC，得出sin∠ABC；
（3）使用勾股定理和定比分点性质求出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=（2\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2\sqrt{6}）$．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2$\sqrt{3}×0$$+0×2\sqrt{6}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，即AB⊥AC．
（2）$\overrightarrow{BA}=（-2\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-2\sqrt{3}，2\sqrt{6}）$，
|$\overrightarrow{BA}$|=2$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=6，$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=12．
∴cos∠ABC=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）∵AC=2$\sqrt{6}$，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6，AB⊥AC，AD⊥BC，
∴AD=$\frac{AC×AB}{BC}=2\sqrt{2}$．
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=4．
∴D为BC上靠近B的三等分点．
∴D（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查了向量在几何中的应用，属于基础题．