Question

给出下列命题：
（1）常数列既是等差数列，又是等比数列；
（2）实数等差数列中，若公差d＜0，则数列必是递减数列；
（3）实数等比数列中，若公比q＞1，则数列必是递增数列；
（4）

lim

n→∞

(

2

n

+

4n-1

4n

)=1；
（5）首项为a₁，公比为q的等比数列的前n项和为S_n=

a1(1-qn)

1-q

．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：（1），（3），（5）可举反例说明此命题为假命题；（2）根据通项公式，利用一次函数的单调性即可判断真假；（4）利用求极限的方法求出极限的值即可判断命题的真假．即可得到正确命题的序号．

解答：解：（1）当常数列的项都为0时，是等差数列但不是等比数列，此命题为假命题；
（2）因为等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=dn+a₁-d为关于n的一次函数，由d＜0，得到数列必是递减数列，此命题为真命题；
（3）取首项为-1，公比为2＞1的等比数列，但此数列是递减数列，此命题为假命题；
（4）

lim

n→∞

(

2

n

+

4n-1

4n

)=

lim

n→∞

(

2

n

+1-

1

4n

)=

lim

n→∞

2

n

+

lim

n→∞

1-

lim

n→∞

1

4n

=1，所以此命题为真命题；
（5）当等比数列的公比为1时，等比数列的前n项和公式没有意义，此命题为假命题．
所以正确命题的序号是：（2）（4）．
故答案为：（2）（4）

点评：此题考查学生掌握数列的函数特征及利用等比数列的前n项和公式的条件，理解极限的定义及会进行极限的运算，是一道中档题．本题的解题思想是说明一个命题是假命题只需举一个反例即可，但说明一个命题是真命题必须经过证明．