Question

2．设a_n（n=2，3，4…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中x的一次项的系数，则$\frac{2016}{2015}$（$\frac{3^2}{a_2}$+$\frac{3^3}{a_3}$+…+$\frac{{3^{2016}}}{{a_{2016}}}$）的值是18．

Answer 1

分析 （3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}{3}^{n-r}（\sqrt{x}）^{r}$，令r=2，则T₃=${∁}_{n}^{2}{3}^{n-2}x$，根据a_n（n=2，3，4…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中x的一次项的系数，可得a_n=${∁}_{n}^{2}$3^n-2，即$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{9}{{∁}_{n}^{2}}$=18$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}{3}^{n-r}（\sqrt{x}）^{r}$，
令r=2，则T₃=${∁}_{n}^{2}{3}^{n-2}x$，
∵a_n（n=2，3，4…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中x的一次项的系数，
∴a_n=${∁}_{n}^{2}$3^n-2，
∴$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{9}{{∁}_{n}^{2}}$=18$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∴$\frac{2016}{2015}$（$\frac{3^2}{a_2}$+$\frac{3^3}{a_3}$+…+$\frac{{3^{2016}}}{{a_{2016}}}$）=$\frac{2016}{2015}×18[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）]$=$\frac{2016}{2015}×18×（1-\frac{1}{2016}）$=18，
故答案为：18．

点评 本题考查了二项式定理的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．