Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心、F₁，F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的交点且∠AF₂F₁为钝角，我们把由曲线C₁和曲线C₂合成的曲线C称为“月蚀圆”．若|AF₁|=7，|AF₂|=5．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴相交的直线l，分别与“月蚀圆”依次交于B、C、D、E四点，
（1）当直线l⊥x轴时，求

|CD|

|BE|

的值；
（2）当直线l不垂直x轴时，若G为CD中点、H为BE中点，问

|CD|•|HF2|

|BE|•|GF2|

是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题

分析：（Ⅰ）因为在椭圆中2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，所以可求曲线C₁方程．利用抛物线定义，可求曲线C₂方程．
（Ⅱ）（1）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=2，从而|CD|=8，|BE|=

32

3

，可得

|CD|

|BE|

的值；
（2）先设出B、C、D、E四点坐标，过F₂作的与x轴不垂直的直线方程，分别与椭圆方程，抛物线方程联立，利用根与系数关系，求

|CD|•|HF2|

|BE|•|GF2|

的值，看结果是否为定值．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
则2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，得a=6，…（2分）
设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则（x+c）²+y²=7²，（x-c）²+y²=5²，
两式相减得xc=6，由抛物线定义可知|AF₂|=x+c=5，
则c=2，x=3或x=2，c=3，
又∠AF₂F₁为钝角，则x=2，c=3舍去．…（4分）
所以椭圆方程为

x2

36

+

y2

32

=1，抛物线方程为y²=8x．…（6分）
（Ⅱ）（1）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=2，从而|CD|=8，|BE|=

32

3

，
所以

|CD|

|BE|

=

3

4

；…（9分）
（2）当直线l不垂直x轴时，设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
直线y=k（x-2），代入

x2

36

+

y2

32

=1得：8(

y

k

+2)2+9y2-288=0，即（8+9k²）y²+32ky-256k²=0，
则y1+y2=-

32k

8+9k2

，y1y2=-

256k2

8+9k2

，
同理，将y=k（x-2）代入y²=8x得：ky²-8y-16k=0，
则y3+y4=

8

k

，y₃y₄=-16，
所以

|CD|•|HF2|

|BE|•|GF2|

=

|y3-y4|• 1 2 |y1+y2|

|y1-y2|• 1 2 |y3+y4|

=

(y3+y4)2-4y3y4 (y3+y4)2 • (y1+y2)2 (y1+y2)2-4y1y2

=

1

3

为定值．…（14分）

点评：本题考查了椭圆，抛物线与直线的位置关系，掌握设而不求思想的应用是关键．