Question

（文）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（Ⅰ）求证：AB₁⊥BC₁
（Ⅱ）求二面角C₁-AB-C的正切值
（Ⅲ）求点B到平面AB₁C₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AB₁⊥BC₁．
（Ⅱ）求出平面ABC₁的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角C₁-AB-C的正切值．
（Ⅲ）求出平面AB₁C₁的法向量和

BA

，利用向量法能求出点B平面AB₁C₁的距离．

解答： （文）（Ⅰ）证明：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知A（2，0，0），B₁（0，2，2），
B（0，2，0），C₁（0，0，2），

AB1

=（-2，2，2），

BC1

=（0，-2，2），

AB1

•

BC1

=0-4+4=0，
∴AB₁⊥BC₁．
（Ⅱ）解：

C1A

=(2，0，-2)，

C1B

=(0，2，-2)，
设平面ABC₁的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • C1A =2x-2z=0 n • C1B =2y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
又平面ABC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角C₁-AB-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
∴tanθ=

2

．
∴二面角C₁-AB-C的正切值为

2

．
（Ⅲ）解：

AC1

=（2，0，2），

AB1

=（-2，2，2），
设平面AB₁C₁的法向量

p

=（a，b，c），
则

p • AB1 =-2a+2b+2c=0 p • AC1 =2a+2c=0

，
取a=1，得

p

=（1，2，-1），
又

BA

=（2，-2，0），
∴点B平面AB₁C₁的距离：d=

| BA • p |

| p |

=

|2-4+0|

6

=

6

3

，
∴点B平面AB₁C₁的距离为

6

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要注意向量法的合理运用．