Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3a，x≥0}\\{{x}^{2}-ax+1，x＜0}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{3}$]
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． （0，$\frac{1}{3}$]
• D． [0，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 既然f（x）在R上是减函数，根据x＜0时解析式为x²-ax+1，其过定点（0，1），且x＜0时是减函数，所以对称轴x=$\frac{a}{2}$≥0，又x≥0时，f（x）=-x-3a，是减函数，所以3a≤1，解答即可．

解答 解：由题意，∵f（x）在R上是减函数，
∴x＜0时f（x）=x²-ax+1，其过定点（0，1），且x＜0时是减函数，
∴对称轴x=$\frac{a}{2}$≥0，①
又∵x≥0时，f（x）=-x-3a，是减函数，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3a，x≥0}\\{{x}^{2}-ax+1，x＜0}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，
∴3a≤1，②
又①②得0≤a≤$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了已知函数的单调性求参数范围的问题，考查学生对函数单调性的理解，属于中档题．