Question

7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，b²=c（b+2c），若a=$\sqrt{6}$，cosA=$\frac{3}{4}$，则△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，sinB=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式整理表示出b=2c，由余弦定理列出关系式，把a与cosA的值代入整理求出b与c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积，利用正弦定理求出sinB的值即可．

解答 解：由b²=c（b+2c），整理得：b²-bc-2c²=0，即（b+c）（b-2c）=0，
解得：b+c=0（舍去）或b=2c，
∵a=$\sqrt{6}$，cosA=$\frac{3}{4}$，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即6=b²+c²-$\frac{3}{2}$bc，
把b=2c代入得：6=5c²-3c²，
解得：b=2$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{3}$，
∵cosA=$\frac{3}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{7}}{4}$，
∵a=$\sqrt{6}$，sinA=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{7}}{4}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{126}}{12}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$，
故答案为：$\frac{3\sqrt{7}}{4}$；$\frac{\sqrt{14}}{4}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．