Question

16．设实数集S是满足下面两个条件的集合：
①1∉S，②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S
（1）求证：若a∈S，则1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）若2∈S，则在S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；
（3）求证：集合S中至少有三个不同的元素．

Answer 1

分析 利用两个条件：①1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S，
（1）将$\frac{1}{1-a}$代入可证得：1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）将a=2代入，可求出另外的两个元素；
（3）证明a，1-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$不相等，可证得结论．

解答 （1）证明：若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$∈S，
∴1-$\frac{1}{a}$∈S；
（2）解：若2∈S，则$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，则$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$∈S，
所以另外两个数是-1和$\frac{1}{2}$．
（3）证明：由（1）得：1-$\frac{1}{a}$∈S；
令1-$\frac{1}{a}$=a，即a²-a+1=0，
此时判别式△=1-4=-3＜0，方程无解，
同理1-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{1-a}$也无解，
故集合S中至少有三个不同的元素：a，1-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$．

点评 本题主要考查集合元素和集合关系的判断，考查学生的推理和分析能力．