Question

2．在△ABC中，A为锐角，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{5A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cos$\frac{A}{2}$，-sin$\frac{5A}{2}$），且|$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$．
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，求-$\sqrt{3}$b+c的取值范围；
（3）若a=2，求△ABC的面积S_△ABC的最大值，并求出当面积S_△ABC取到最大值时b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，结合同角的平方关系和两角和的余弦公式，化简即可得到角A；
（2）运用正弦定理，结合两角和差公式，再由余弦函数的图象和性质，即可得到所求范围；
（3）由余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，计算即可得到最大值及b，c的值．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{2}$，可得
（$\overrightarrow{m}-\overrightarrow{n}$）²=2，
即为$\overrightarrow{m}$²+$\overrightarrow{n}$²-2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2，
即有cos²$\frac{5A}{2}$+sin²$\frac{A}{2}$+cos²$\frac{A}{2}$+sin²$\frac{5A}{2}$-2（cos$\frac{5A}{2}$cos$\frac{A}{2}$-sin$\frac{A}{2}$sin$\frac{5A}{2}$）=2，
即为1+1-2cos3A=2，即cos3A=0，
由A为锐角，则3A=$\frac{π}{2}$，
即有A=$\frac{π}{6}$；
（2）由正弦定理，可得
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{6}}$=4，
即有b=4sinB，c=4sinC，
-$\sqrt{3}$b+c=4（sinC-$\sqrt{3}$sinB）=4[sin（$\frac{5π}{6}$-B）-$\sqrt{3}$sinB]
=4（$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB-$\sqrt{3}$sinB）
=4（（$\frac{1}{2}$cosB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=4cos（B+$\frac{π}{3}$），
0＜B＜$\frac{5π}{6}$，则B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$），
cos（B+$\frac{π}{3}$）∈[-1，$\frac{1}{2}$），
即有-$\sqrt{3}$b+c的取值范围为[-4，2）；
（3）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
即4=b²+c²-$\sqrt{3}$bc≥2bc-$\sqrt{3}$bc，
则bc≤4（2+$\sqrt{3}$），当且仅当b=c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，取得等号．
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{4}$bc≤2+$\sqrt{3}$．
即有b=c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，S_△ABC的最大值为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质：向量的平方即为模的平方，考查三角函数的化简和求值，同时考查正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，以及重要不等式的运用，属于中档题．