Question

3．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，
（1）设a+b=2，当-1≤x≤1时，|f（x）|≤1，求f（x）；
（2）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，且有f（c）=0，
①试求b的取值范围；
②若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为5，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定c=-1，0≤a+b≤2，0≤a-b≤2，进而：0≤a≤$\frac{3}{2}$，0≤b≤$\frac{1}{2}$，当且仅当a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$时才可以a+b=2；（2）求出ac的最大值，然后根据判别式△大于0就可以求出b的范围；
（3）由于f（x）的图象与x轴有两个交点，结合图象表示出三交点为顶点的三角形的面积表达式，从而得到a关于c的表达式，最后利用基本不等式求a的取值范围．

解答 解：（1）|f（x）|≤1即：-1≤f（x）≤1
那么有：-1≤f（-1）≤1，-1≤f（1）≤1，-1≤f（0）≤1，
得到-3≤c≤-1，-1≤c≤1
∴必有c=-1
∴0≤a+b≤2，0≤a-b≤2，
进而：0≤a≤$\frac{3}{2}$，0≤b≤$\frac{1}{2}$，
∴当且仅当a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{1}{2}$时才可以a+b=2
∴f（x）=$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）f（x）的图象与x轴有两个交点，∵f（c）=0，
设另一个根为x₂，则x₂=$\frac{1}{a}$
又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则$\frac{1}{a}$＞c，∴0＜ac＜1，
∵△=b²-4ac＞0，∴b²＞4
∴b＜-2或b＞2；
（3）f（x）的图象与x轴有两个交点，则三交点为（c，0），（$\frac{1}{a}$，0），（0，c）
这三交点为顶点的三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$-c）c=5
∴a=$\frac{1}{c+\frac{10}{c}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$，
∴a∈（0，$\frac{\sqrt{10}}{20}$]．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、一元二次不等式与一元二次方程、不等式的解法、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．